6. ∫(8x-4x^3)dx.

Решение:

Для решения этого интеграла мы применим правило линейности, интегрируя каждый член отдельно.

\[ \int (8x - 4x^3) dx = \int 8x dx - \int 4x^3 dx \]

Интегрируем 8x:

\[ \int 8x dx = 8 \int x^1 dx = 8 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + C_1 = 8 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C_1 = 4x^2 + C_1 \]

Интегрируем 4x³:

\[ \int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \left( \frac{x^{3+1}}{3+1} \right) + C_2 = 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) + C_2 = x^4 + C_2 \]

Объединяем результаты:

\[ (4x^2 + C_1) - (x^4 + C_2) = 4x^2 - x^4 + C \]

где C = C₁ - C₂

Ответ: 4x^2 - x^4 + C