5. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.

Решение:

Общее число мест за столом: \( N = 9 \).

Количество мальчиков: \( M = 7 \).

Количество девочек: \( D = 2 \).

1. Найдем общее количество способов рассадить 9 человек на 9 мест.

Если места различимы (например, пронумерованы), то общее число способов равно \( 9! \).

2. Найдем количество способов, при которых обе девочки сидят рядом.

Рассмотрим двух девочек как один блок. Теперь у нас есть 8 «объектов» для рассадки: 7 мальчиков и 1 блок девочек. Эти 8 объектов можно рассадить \( 8! \) способами.

Внутри блока девочки могут поменяться местами: \( 2! \) способами.

Таким образом, количество способов, при которых девочки сидят рядом, равно \( 8! \times 2! \).

3. Найдем количество способов, при которых обе девочки НЕ сидят рядом.

Это общее число способов минус количество способов, при которых они сидят рядом:

\( \text{Кол-во способов (не рядом)} = 9! - (8! \times 2!) \)

\( 9! = 9 \times 8! \)

\( \text{Кол-во способов (не рядом)} = 9 \times 8! - 8! \times 2! = 8!(9 - 2) = 8! \times 7 \)

4. Найдем вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.

\( P(\text{не рядом}) = \frac{\text{Кол-во способов (не рядом)}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{8! \times 7}{9!} = \frac{8! \times 7}{9 \times 8!} = \frac{7}{9} \)

Ответ: 7/9