50. В прямоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 10 см. Две стороны квадрата CDEF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина E принадлежит гипотенузе AB. Найдите отрезок AD.

Так как \(AC=BC=10\) см, треугольник равнобедренный прямоугольный, а квадрат с вершиной \(C\) размещён у прямого угла. Обозначим его сторону через \(x\). Тогда \(CD=CF=x\), а вершина \(E\) находится на гипотенузе.

Введём координаты: \(C=(0,0)\), \(A=(10,0)\), \(B=(0,10)\). Тогда \(E=(x,x)\), а прямая \(AB\) задаётся уравнением \(X+Y=10\). Поскольку \(E\in AB\), имеем \(2x=10\), откуда \(x=5\) см.

Точка \(D\) лежит на \(AC\), поэтому \(AD=AC-CD=10-5=5\) см.

Ответ: 5 см.