51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.

Прямые \(m\) и \(n\) лежат в плоскости \(\alpha\), пересекаются и каждая из них параллельна плоскости \(\beta\).

Предположим, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(c\). Тогда прямая \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\) и пересекает плоскость \(\beta\).

В плоскости \(\alpha\) через точку пересечения с \(c\) можно провести прямую, параллельную одной из прямых \(m\) или \(n\). Но эта прямая должна пересекать плоскость \(\beta\), что противоречит условию её параллельности плоскости \(\beta\).

Следовательно, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) не пересекаются. Поэтому они параллельны.

Ответ: \(\alpha \parallel \beta\).