51. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, AH — высота, BH = 6. Найдите косинус угла BAC.

Обозначим AC = BC = x, а высоту из C на AB — h. Площадь треугольника можно выразить через разные основания:

S = (1/2) · BC · AH = 3x, а также S = (1/2) · AB · h = (15/2)h. Поэтому h = 2x/5.

В равнобедренном треугольнике высота из C делит основание AB пополам, то есть каждая половина равна 15/2. По теореме Пифагора:

x² = (15/2)² + h² = 225/4 + 4x²/25.

Отсюда (21/25)x² = 225/4, поэтому x = 75/(2√21).

По теореме косинусов для угла A:

cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2 · AB · AC) = 225/(30x) = √21/5.

Ответ: √21/5.