510. Докажите: а) если диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то он является квадратом; б) если диагональ ромба делит его угол пополам, то он является квадратом.

В условии, по-видимому, утрачена существенная часть формулировки пункта а): из одной лишь перпендикулярности диагоналей ромба квадратность не следует — у любого ромба диагонали перпендикулярны. Поэтому доказать пункт а) в приведённом виде нельзя; пришлите начало условия целиком.

б) Пусть в ромбе ABCD диагональ AC делит угол A пополам. Тогда ∠BAC = ∠CAD. В ромбе AB = AD, а AC — общая сторона треугольников BAC и DAC. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому ∠BCA = ∠ACD.

Так как B, C, D образуют развёрнутый угол, ∠BCA + ∠ACD = 180°. Равные углы имеют величину 90°, значит, AC ⟂ BD. Это свойство выполняется для любого ромба и само по себе не доказывает, что ромб является квадратом.

Действительно, ромб со сторонами 2 и углом 60° не квадрат, но его диагональ AC делит угол A пополам. Следовательно, в пункте б) также не хватает условия или в формулировке есть ошибка. Уточните текст задания.