524. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом: а) (10ⁿ − 1)/9; б) (10ⁿ + 8)/9; в) (10ⁿ − 4)/3.

Докажем, что числитель каждой дроби делится на знаменатель при любом натуральном \(n\).

1. а) \(10\equiv1\pmod 9\), поэтому \(10^n\equiv1\pmod 9\). Значит, \(10^n-1\) делится на 9. Числитель положителен, следовательно, дробь — натуральное число.
2. б) Так как \(10^n\equiv1\pmod 9\), то \(10^n+8\equiv1+8=9\equiv0\pmod 9\). Числитель положителен, поэтому дробь — натуральное число.
3. в) \(10 equiv1\pmod 3\) в обычной записи, но \(10\equiv1\pmod 3\); следовательно, \(10^n\equiv1\pmod 3\), и \(10^n-4\equiv1-1=0\pmod 3\). Для натурального \(n\ge1\) числитель положителен, значит, дробь — натуральное число.