528. Решите неравенства: а) $\log_2(\sin\frac{x}{2})<-1$; б) $|3-\log_2x|<2$; в) $\log_{1/2}(\cos2x)\geq1$; г) $|3\lg x-1|<2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 528. Решите неравенства: а) $\log_2(\sin\frac{x}{2})<-1$; б) $|3-\log_2x|<2$; в) $\log_{1/2}(\cos2x)\geq1$; г)…$ Фото задания

528. Решите неравенства: а) $\log_2(\sin\frac{x}{2})<-1$; б) $|3-\log_2x|<2$; в) $\log_{1/2}(\cos2x)\geq1$; г) $|3\lg x-1|<2$.

Accepted Answer

а) Область определения: $\sin\frac{x}{2}>0$. Так как основание 2 больше 1, неравенство равносильно $0<\sin\frac{x}{2}<\frac12$. Для $u=\frac{x}{2}$: $u\in(2\pi k,2\pi k+\frac\pi6)\cup(2\pi k+\frac{5\pi}6,2\pi(k+1))$, где $k\in\mathbb Z$. Умножая на 2, получаем $x\in(4\pi k,4\pi k+\frac\pi3)\cup(4\pi k+\frac{5\pi}3,4\pi(k+1))$.

б) $|3-\log_2x|<2$ равносильно $1<\log_2x<5$, поэтому \(2

в) Из-за основания меньше 1: $0<\cos2x\leq\frac12$. Это выполняется при $2x\in[2\pi k+\frac\pi3,2\pi k+\frac\pi2)\cup(2\pi k+\frac{3\pi}2,2\pi k+\frac{5\pi}3]$. Делим границы на 2.

г) $-2<3\lg x-1<2$, откуда $-\frac13<\lg x<1$. Следовательно, \(10^{-1/3}

Ответ: а) $x\in(4\pi k,4\pi k+\frac\pi3)\cup(4\pi k+\frac{5\pi}3,4\pi(k+1))$, $k\in\mathbb Z$; б) $(2;32)$; в) $x\in[\pi k+\frac\pi6,\pi k+\frac\pi4)\cup(\pi k+\frac{3\pi}4,\pi k+\frac{5\pi}6]$, $k\in\mathbb Z$; г) $(10^{-1/3};10)$.

528. Решите неравенства: а) \(\log_2(\sin\frac{x}{2})<-1\); б) \(|3-\log_2x|<2\); в) \(\log_{1/2}(\cos2x)\geq1\); г) \(|3\lg x-1|<2\).

Ответ: