530. Решите системы уравнений: а) \(\begin{cases}3^y\cdot9^x=81,\\\lg((x+y)^2)-\lg x=2\lg3;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}10^{1+\lg(x+y)}=50,\\\lg(x+y)+\lg(x-y)=2-\lg5;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}3^x\cdot2^y=576,\\\log_{\sqrt2}(y-x)=4;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}\lg x-\lg y=\lg15-1,\\10^{\lg(3x+2y)}=39.\end{cases}\)

а) Первое уравнение: \(y+2x=4\), то есть \(y=4-2x\). Второе равносильно \(\frac{(x+y)^2}{x}=9\), при условии \(x>0\). Подставляем: \((4-x)^2=9x\), откуда \(x^2-17x+16=0\), поэтому \(x=1\) или \(x=16\). Соответствующие значения \(y\): 2 и −28. Оба решения удовлетворяют условиям логарифмов.

б) Обозначим \(s=x+y\), \(d=x-y\). Из первого уравнения \(10s=50\), значит \(s=5\). Во втором \(\lg(sd)=2-\lg5=\lg20\), следовательно, \(sd=20\), откуда \(d=4\). Решая систему \(x+y=5\), \(x-y=4\), получаем \(x=\frac92\), \(y=\frac12\).

в) Из второго уравнения \(y-x=(\sqrt2)^4=4\), поэтому \(y=x+4\). Подставляем в первое: \(3^x2^{x+4}=576\), то есть \(6^x=36\). Следовательно, \(x=2\), \(y=6\).

г) Первое уравнение даёт \(\lg\frac{x}{y}=\lg\frac32\), поэтому \(x=\frac32y\). Второе равносильно \(3x+2y=39\). Подстановка даёт \(\frac{13}{2}y=39\), откуда \(y=6\), \(x=9\).

Ответ: а) \((1;2)\), \((16;-28)\); б) \((\frac92;\frac12)\); в) \((2;6)\); г) \((9;6)\).