529. Решите системы уравнений: а) $\begin{cases}\log_{1/3}(x+y)=2,\\\log_3(x-y)=2;\end{cases}$ б) $\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=2,\\\log_{48}x+\log_{48}y=1;\end{cases}$ в) $\begin{cases}\log_{1/3}x+\log_{1/3}y=2,\\\log_{1/3}x-\log_{1/3}y=4;\end{cases}$ г) $\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=1+\lg13,\\\lg(x+y)=\lg(x-y)+\lg8.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 529. Решите системы уравнений: а) $\begin{cases}\log_{1/3}(x+y)=2,\\\log_3(x-y)=2;\end{cases}$ б)…$ Фото задания

529. Решите системы уравнений: а) $\begin{cases}\log_{1/3}(x+y)=2,\\\log_3(x-y)=2;\end{cases}$ б) $\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=2,\\\log_{48}x+\log_{48}y=1;\end{cases}$ в) $\begin{cases}\log_{1/3}x+\log_{1/3}y=2,\\\log_{1/3}x-\log_{1/3}y=4;\end{cases}$ г) $\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=1+\lg13,\\\lg(x+y)=\lg(x-y)+\lg8.\end{cases}$

Accepted Answer

а) Из первого уравнения $x+y=(\frac13)^2=\frac19$; из второго $x-y=9$. Складывая и вычитая, получаем $x=\frac{41}{18}$, $y=-\frac{40}{18}=-\frac{20}{9}$.

б) Первое уравнение даёт $x^2+y^2=100$. Во втором объединяем логарифмы: $\log_{48}(xy)=1$, поэтому $xy=48$. Тогда $(x+y)^2=100+2\cdot48=196$. Так как $x,y>0$, имеем $x+y=14$. Корни уравнения с суммой 14 и произведением 48 — 6 и 8. Получаем обе перестановки.

в) Обозначим $a=\log_{1/3}x$, $b=\log_{1/3}y$. Тогда $a+b=2$, $a-b=4$, откуда $a=3$, $b=-1$. Следовательно, $x=(\frac13)^3=\frac1{27}$, $y=(\frac13)^{-1}=3$.

г) Первое уравнение даёт $x^2+y^2=130$. Из второго, с учётом положительности аргументов, $x+y=8(x-y)$, значит $7x=9y$. Положим $x=9t$, $y=7t$, где $t>0$. Тогда $130t^2=130$, значит $t=1$. Итак, $(x,y)=(9,7)$.

Ответ: а) $(\frac{41}{18};-\frac{20}{9})$; б) $(6;8)$, $(8;6)$; в) $(\frac1{27};3)$; г) $(9;7)$.