529 Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает цилиндр по прямоугольнику.
Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть \( h = 8 \) см.
Ширина этого прямоугольника (хорда основания) зависит от расстояния плоскости до оси.
Пусть \( r \) — радиус основания цилиндра, \( d \) — расстояние от оси до плоскости. Ширина прямоугольника \( b \) вычисляется по теореме Пифагора: \( \left(\frac{b}{2}\right)^2 + d^2 = r^2 \).
По условию \( h = 8 \) см, \( r = 5 \) см, \( d = 3 \) см.
\( \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 3^2 = 5^2 \)
\( \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 9 = 25 \)
\( \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 16 \)
\( \frac{b}{2} = 4 \) см.
\( b = 8 \) см.
Площадь сечения равна произведению высоты и ширины: \( S = h \cdot b = 8 \cdot 8 = 64 \) см².

Ответ: 64 см².