530 Докажите свойство 1 дисперсии: D(X + a) = DX, где a — произвольное число.

Доказательство:

По определению дисперсии:

D(X + a) = E[(X + a) - E(X + a)]²

Известно, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: E(X + a) = EX + E(a).

Математическое ожидание константы равно самой константе: E(a) = a.

Следовательно, E(X + a) = EX + a.

Подставим это обратно в формулу дисперсии:

D(X + a) = E[(X + a) - (EX + a)]²

Раскроем скобки внутри выражения:

D(X + a) = E[X + a - EX - a]²

Слагаемые 'a' и '-a' сокращаются:

D(X + a) = E[X - EX]²

Выражение E[X - EX]² по определению является дисперсией случайной величины X, то есть DX.

Таким образом, D(X + a) = DX.

Что и требовалось доказать.