531 Докажите свойство 2 дисперсии: D(bX) = b^2DX, где b — произвольное число.

Доказательство:

По определению дисперсии:

D(bX) = E[bX - E(bX)]²

Используем свойство математического ожидания: E(bX) = b \cdot EX.

Подставим это в формулу дисперсии:

D(bX) = E[bX - b \cdot EX]²

Вынесем общий множитель 'b' из выражения в скобках:

D(bX) = E[b(X - EX)]²

Возведем выражение в квадрат:

D(bX) = E[b²(X - EX)²]

Используем свойство математического ожидания: E(c \cdot Y) = c \cdot E(Y), где 'c' - константа (в данном случае b²).

D(bX) = b² \cdot E[(X - EX)²]

Выражение E[(X - EX)²] по определению является дисперсией случайной величины X, то есть DX.

Таким образом, D(bX) = b² \cdot DX.

Что и требовалось доказать.