56. а) В треугольнике ABC проведена медиана BK. Известно, что AB = BC. Найдите AC, если AB = 50, а BK = 14. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Известно, что AB = BC. Найдите BK, если AB = 30, а AC = 36. в) В треугольнике ABC проведена высота BK. Известно, что AB = BC. Найдите AC, если AB = 20, а BK = 16. г) В треугольнике ABC проведена медиана BK. Известно, что AB = BC. Найдите BK, если AB = 29, а AC = 40.

В равнобедренном треугольнике с AB = BC медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины B к основанию AC, также делят основание пополам и образуют прямоугольные треугольники.

а) \(AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{50^2-14^2}=48\). Так как K — середина AC, \(AC=2AK=96\).

б) Биссектриса BK одновременно является медианой и высотой, поэтому AK = 36/2 = 18. Тогда \(BK=\sqrt{30^2-18^2}=24\).

в) Высота BK делит основание пополам: \(AK=\sqrt{20^2-16^2}=12\). Следовательно, \(AC=2\cdot12=24\).

г) Медиана BK делит основание пополам: AK = 40/2 = 20. Тогда \(BK=\sqrt{29^2-20^2}=21\).

Ответ: а) 96; б) 24; в) 24; г) 21.