56. AB ∥ DC, P_ABCD = 48, MN — ?

Четырёхугольник описан около окружности, поэтому суммы длин противоположных сторон равны: \(AB+DC=AD+BC\). Периметр равен \(P_{ABCD}=AB+BC+DC+AD=48\).

Следовательно, \(2(AB+DC)=48\), откуда \(AB+DC=24\).

Поскольку \(AB\parallel DC\), отрезок \(MN\), проходящий через центр окружности и соединяющий точки касания на боковых сторонах, равен сумме оснований трапеции: \(MN=\frac{AB+DC}{2}\) для средней линии? В данном рисунке точки касания боковых сторон не задают среднюю линию трапеции, а условие не связывает их расстояние с периметром однозначно.

Ответ: данных недостаточно для определения \(MN\).