60. MP = NK, S_MNKP — ?

На рисунке изображена равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Радиус окружности к точке касания основания равен 5, а угол при основании равен \(45°\).

Расстояние между основаниями равно диаметру окружности: \(h=2\cdot5=10\).

Горизонтальный отступ каждой боковой стороны равен \(h\cot45°=10\). Поэтому нижнее основание длиннее верхнего на \(2\cdot10=20\).

Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. При равных боковых сторонах длина каждой боковой стороны равна полусумме оснований. Тогда площадь трапеции равна высоте, умноженной на среднюю линию. Средняя линия равна половине суммы оснований; из касательных отрезков и наклона боковых сторон она составляет 20.

Следовательно, \(S_{MNKP}=10\cdot20=200\).

Ответ: \(S_{MNKP}=200\).