56. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противоположным сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим отрезок \(MN\), проходящий через \(O\), где \(M\) и \(N\) лежат на противоположных сторонах параллелограмма.

Центральная симметрия с центром \(O\) переводит каждую сторону параллелограмма в противоположную сторону. Поэтому точка \(M\) переходит в точку \(N\).

При центральной симметрии центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего соответствующие точки. Следовательно, \(OM=ON\).

Значит, точка пересечения диагоналей делит данный отрезок пополам.