563. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что: а) M⃗Q + M₁⃗Q₁ = N₁⃗P₁ + N⃗P; б) P⃗Q + N⃗P₁ = N⃗Q₁; в) Q₁⃗P₁ + Q⃗Q₁ = Q⃗P₁.

Обозначим \(\overrightarrow{MN}=\vec a\), \(\overrightarrow{MQ}=\vec b\), \(\overrightarrow{MM_1}=\vec c\). Тогда \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{N_1P_1}=\vec b\), а перенос на верхнюю грань не меняет векторы.

1. \(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{M_1Q_1}=\vec b+\vec b=2\vec b\), и \(\overrightarrow{N_1P_1}+\overrightarrow{NP}=\vec b+\vec b=2\vec b\). Следовательно, равенство верно.
2. \(\overrightarrow{PQ}=-\vec a\), \(\overrightarrow{NP_1}=\vec b+\vec c\), поэтому \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP_1}=-\vec a+\vec b+\vec c=\overrightarrow{NQ_1}\).
3. \(\overrightarrow{Q_1P_1}=\vec a\), поэтому \(\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{QQ_1}=\vec a+\vec c=\overrightarrow{QP_1}\).