Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 564. На рисунке 163 изображён правильный октаэдр. Докажите, что: а) A⃗B + F⃗B = D⃗B; б) A⃗C − C⃗F = E⃗C; в) A⃗B + A⃗C + A⃗D +…Фото задания

Ответ:

Обозначим через \(O\) центр октаэдра. Пусть \(\overrightarrow{OA}=\vec u\), \(\overrightarrow{OB}=\vec v\), \(\overrightarrow{OC}=\vec w\). Тогда у противоположных вершин \(\overrightarrow{OF}=-\vec u\), \(\overrightarrow{OD}=-\vec v\), \(\overrightarrow{OE}=-\vec w\).

  1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=(\vec v-\vec u)+(\vec v+\vec u)=2\vec v\). При этом \(\overrightarrow{DB}=\vec v-(-\vec v)=2\vec v\).
  2. \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=(\vec w-\vec u)-(-\vec u-\vec w)=2\vec w\). Также \(\overrightarrow{EC}=\vec w-(-\vec w)=2\vec w\).
  3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=(\vec v-\vec u)+(\vec w-\vec u)+(-\vec v-\vec u)+(-\vec w-\vec u)=-4\vec u\). А \(2\overrightarrow{AF}=2(-2\vec u)=-4\vec u\).