568. Даны треугольники ABC, A₁B₁C₁ и две точки O и P пространства. Известно, что O⃗A + O⃗P = O⃗A₁, O⃗B + O⃗P = O⃗B₁, O⃗C + O⃗P = O⃗C₁. Докажите, что стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.

Из условий \(\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}\) и \(\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}\) вычтем первое равенство из второго:

\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OA_1}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP})-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{AB}\).

Аналогично, используя условия для вершин \(B,C\) и \(C,A\), получаем \(\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CA}\). Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому соответствующие стороны треугольников равны и параллельны.