567. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите сумму векторов: а) A⃗B + B₁⃗C₁ + D⃗D₁ + C⃗D; б) B₁⃗C₁ + A⃗B + D⃗D₁ + C⃗B₁ + B⃗C + A₁⃗A; в) B⃗A + A⃗C + C⃗B + D⃗C + D⃗A.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec x\), \(\overrightarrow{AD}=\vec y\), \(\overrightarrow{AA_1}=\vec z\). Тогда \(\overrightarrow{B_1C_1}=\vec y\), \(\overrightarrow{DD_1}=\vec z\), \(\overrightarrow{CD}=-\vec x\), \(\overrightarrow{CB_1}=\vec z-\vec y\).

1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD}=\vec x+\vec y+\vec z-\vec x=\vec y+\vec z=\overrightarrow{AD_1}\).
2. \(\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A_1A}=\vec y+\vec x+\vec z+(\vec z-\vec y)+\vec y-\vec z=\vec x+\vec y+\vec z=\overrightarrow{AC_1}\).
3. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=-\vec x+(\vec x+\vec y)-\vec y+\vec x-\vec y=\vec x-\vec y=\overrightarrow{DB}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AD_1}\); б) \(\overrightarrow{AC_1}\); в) \(\overrightarrow{DB}\).