59. ABCD — равнобедренная трапеция, MN — средняя линия, MN = 20. Окружность вписана в трапецию; K — точка касания с основанием AD, O — центр окружности. Угол A равен 60°. Найти OK.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому AB + CD = 2MN = 40.

Трапеция описана около окружности, следовательно, сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Боковые стороны равны, поэтому каждая из них равна 40 ÷ 2 = 20.

Высота трапеции равна проекции боковой стороны на перпендикуляр к основанию: h = 20 · sin 60° = 10√3. Так как окружность касается обоих параллельных оснований, расстояние между ними равно диаметру: 2OK = h.

Значит, OK = 5√3.

Ответ: OK = 5√3.