6. (1 балл) Решите неравенство: 4^(5x+1) \(\geq\) (1/2)^x

Решение:

Приведём обе части неравенства к одному основанию (основание 2):

\[ (2^2)^{5x+1} \geq (2^{-1})^x \]

Используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m\cdot n} \), получаем:

\[ 2^{2(5x+1)} \geq 2^{-x} \]

Раскроем скобки:

\[ 2^{10x+2} \geq 2^{-x} \]

Так как основание \( 2 > 1 \), приравниваем показатели степеней, сохраняя знак неравенства:

\[ 10x + 2 \geq -x \]

Решим линейное неравенство:

\[ 10x + x \geq -2 \]

\( 11x \geq -2 \)

\[ x \geq -\frac{2}{11} \]

Ответ: \( x \geq -\frac{2}{11} \).