6. (1 балл) Решите неравенство: 9^{2x+3} \(\le\) 81^{4x-1}

Решение:

1. Представим основания степени как степень числа 3: \( 9 = 3^2 \) и \( 81 = 3^4 \).
2. Подставим в неравенство: \( (3^2)^{2x+3} \le (3^4)^{4x-1} \).
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 3^{2(2x+3)} \le 3^{4(4x-1)} \) \( 3^{4x+6} \le 3^{16x-4} \).
4. Так как основание степени \( 3 > 1 \), приравниваем показатели степени: \( 4x + 6 \le 16x - 4 \).
5. Решаем полученное линейное неравенство: \( 6 + 4 \le 16x - 4x \) \( 10 \le 12x \) \( x \ge \frac{10}{12} \) \( x \ge \frac{5}{6} \).

Ответ: \( x \ge \frac{5}{6} \).