6.3. Решите уравнение $\frac{1}{x^2-2x+2}+\frac{2}{x^2-2x+3}=\frac{6}{x^2-2x+4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6.3. Решите уравнение $\frac{1}{x^2-2x+2}+\frac{2}{x^2-2x+3}=\frac{6}{x^2-2x+4}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $t=x^2-2x$. Знаменатели ненулевые: $t+2=(x-1)^2+1>0$, $t+3>0$, $t+4>0$.

Умножим уравнение на произведение знаменателей:

$(t+3)(t+4)+2(t+2)(t+4)=6(t+2)(t+3)$.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем $3t^2+11t+8=0$, то есть $(3t+8)(t+1)=0$.

Отсюда $t=-1$ или $t=-\frac83$. Но $t=x^2-2x=(x-1)^2-1\ge-1$, поэтому второй вариант невозможен. При $t=-1$: $(x-1)^2-1=-1$, откуда $x=1$.

Ответ: $x=1$.

6.3. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2-2x+2}+\frac{2}{x^2-2x+3}=\frac{6}{x^2-2x+4}\).