6.4. Решите уравнение \(\frac{2}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+2}=\frac{5}{3(x^2+x+3)}\).

Обозначим \(t=x^2+x\). Тогда \(t+1=(x+\frac12)^2+\frac34>0\), поэтому все знаменатели ненулевые.

Умножим уравнение на \(3(t+1)(t+2)(t+3)\): \(6(t+2)(t+3)-3(t+1)(t+3)=5(t+1)(t+2)\).

После упрощения: \(t^2+3t+2=0\), то есть \((t+1)(t+2)=0\). Следовательно, \(t=-1\) или \(t=-2\).

Если \(t=-1\), то \(x^2+x+1=0\), действительных корней нет. Если \(t=-2\), то \(x^2+x+2=0\), действительных корней также нет.

Ответ: действительных решений нет.