6) \(5^{3x+1}+34\cdot5^{2x}=7\cdot5^x\)

Так как \(5^x>0\), разделим уравнение на \(5^x\): \(5^{2x+1}+34\cdot5^x=7\).

Обозначим \(u=5^x\), где \(u>0\). Тогда \(5u^2+34u-7=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(D=34^2-4\cdot5\cdot(-7)=1296\), \(\sqrt D=36\). Корни: \(u=\frac{-34+36}{10}=\frac15\) и \(u=\frac{-34-36}{10}=-7\). Условию \(u>0\) удовлетворяет только \(u=\frac15\).

Следовательно, \(5^x=\frac15=5^{-1}\), значит \(x=-1\).

Ответ: \(x=-1\).