6. \(\begin{cases}x^2+xy+y^2=13,\\x+y=4.\end{cases}\)

Используем тождество \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\). Тогда \(x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy\).

Так как \(x+y=4\), получаем \(16-xy=13\), значит, \(xy=3\). Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 4 и произведение 3, поэтому они являются корнями уравнения \(t^2-4t+3=0\).

\((t-1)(t-3)=0\), откуда \(t=1\) или \(t=3\). С учётом порядка переменных получаем две пары.

Ответ: \((x,y)=(1,3)\) или \((3,1)\).