6. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды; б) найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) Обозначим вершину пирамиды через \(S\), центр квадратного основания — через \(O\), а вершину основания — через \(A\). Проекция бокового ребра \(SA\) на плоскость основания — отрезок \(AO\). В прямоугольном треугольнике \(SAO\) гипотенуза \(SA=4\), а угол между ребром и плоскостью равен \(45°\).

Высота пирамиды: \(SO=SA\sin45°=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\) см.

б) Из \(AO=SA\cos45°=2\sqrt2\) см и того, что \(AO\) — половина диагонали квадратного основания, находим сторону основания: \(a=AO\sqrt2=4\) см.

Высота боковой грани проведена к стороне основания. В равнобедренной боковой грани она делит основание пополам, поэтому её длина равна \(\sqrt{4^2-(4/2)^2}=2\sqrt3\) см.

Площадь четырёх боковых граней: \(S_{бок}=4\cdot\frac12\cdot4\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\) см².

Ответ: а) \(2\sqrt2\) см; б) \(16\sqrt3\) см².