6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали C₁D его грани отметили точку M так, что DM : MC₁ = 5 : 3. 1) Выразите вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA₁}\). 2) Найдите модуль вектора \(\overrightarrow{AM}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\), \(\overrightarrow{AA_1}=\vec w\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=\vec v\), а \(\overrightarrow{AC_1}=\vec u+\vec v+\vec w\). Следовательно, \(\overrightarrow{DC_1}=\vec u+\vec w\).

1) Так как \(DM:MC_1=5:3\), точка M отстоит от D на \(\frac{5}{8}\) диагонали:

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{DC_1}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AA_1}\).

2) Рёбра куба взаимно перпендикулярны и имеют длину 1 см, поэтому:

\(|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{\left(\frac{5}{8}\right)^2+1^2+\left(\frac{5}{8}\right)^2}=\sqrt{\frac{57}{32}}=\frac{\sqrt{114}}{8}\text{ см}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{AM}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AA_1}\); 2) \(|\overrightarrow{AM}|=\frac{\sqrt{114}}{8}\text{ см}\).