6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На отрезке CD₁ отметили точку F так, что CF : FD₁ = 1 : 5. 1) Выразите вектор BF через векторы BA, BC и BB₁. 2) Найдите угол между прямыми BF и AC₁.

1. Пусть \(\overrightarrow{BA}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\mathbf c\), \(\overrightarrow{BB_1}=\mathbf d\). Тогда \(\overrightarrow{BC}=\mathbf c\), а \(\overrightarrow{CD_1}=\mathbf a+\mathbf d\). Так как CF:FD₁ = 1:5, точка F отстоит от C на одну шестую отрезка CD₁.

   Следовательно, \(\overrightarrow{BF}=\mathbf c+\frac16(\mathbf a+\mathbf d)=\frac16\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\frac16\overrightarrow{BB_1}\).

2. Выберем координаты с началом в B и осями вдоль BA, BC, BB₁. Тогда A(1; 0; 0), C(0; 1; 0), D₁(1; 0; 1), а F(1/6; 5/6; 1/6). Направляющий вектор BF равен (1/6; 5/6; 1/6), а прямой AC₁ — вектор \(\overrightarrow{AC_1}=(-1; 1; 1)\).

   Их скалярное произведение равно 1/3, а длины векторов — \(|BF|=\sqrt{3}/2\) и \(|AC_1|=\sqrt{3}\). Поэтому косинус угла между прямыми равен \((1/3)/(3/2)=2/9\).

   Угол между прямыми: \(\arccos(2/9)\approx 77.2^\circ\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{BF}=\frac16\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\frac16\overrightarrow{BB_1}\); 2) \(\arccos(2/9)\approx77.2^\circ\).