6. Дан квадрат ABCD. На стороне CD построен равносторонний треугольник CDO так, что вершина O находится внутри квадрата. Найдите ∠BOC. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона квадрата равна 1. Возьмём координаты \(D(0,0)\), \(C(1,0)\), \(B(1,1)\). Так как треугольник CDO равносторонний и O внутри квадрата, \(O\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)\).

Векторы \(\overrightarrow{OB}=\left(\frac12,1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\) и \(\overrightarrow{OC}=\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\). Их скалярное произведение равно \(1-\frac{\sqrt3}{2}\), а длины равны \(|OB|=\sqrt{2-\sqrt3}\) и \(|OC|=1\). Следовательно, \[\cos\angle BOC=\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{2-\sqrt3}}=\cos75^\circ.\] Поэтому \(\angle BOC=75^\circ\).

Ответ: 75°.