6. Дана функция y = √3/cos² x + sin 3x + 1/π. Известно, что график некоторой её первообразной проходит через точку (0; −1). Чему равно значение этой первообразной в точке x = π/6?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Первообразная имеет вид

\[F(x)=\sqrt{3}\tan x-\frac13\cos 3x+\frac{x}{\pi}+C.\]

Используем условие \(F(0)=-1\): \(-\frac13+C=-1\), поэтому \(C=-\frac23\).

Подставим \(x=\frac{\pi}{6}\):

\[F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\tan\frac{\pi}{6}-\frac13\cos\frac{\pi}{2}+\frac16-\frac23=1+0+\frac16-\frac23=\frac12.\]

Ответ: \(\frac12\).