6. Дано: $ABCD$ — четырёхугольник, $\angle BDC=\angle ABD$. Докажите, что $DC\parallel\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Дано: $ABCD$ — четырёхугольник, $\angle BDC=\angle ABD$. Докажите, что $DC\parallel\alpha$.$ Фото задания

6. Дано: $ABCD$ — четырёхугольник, $\angle BDC=\angle ABD$. Докажите, что $DC\parallel\alpha$.

Accepted Answer

На рисунке точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точки $D$, $C$ находятся вне неё; дополнительно изображены прямые $AD$ и $AB$. Из равенства $\angle BDC=\angle ABD$ следует параллельность $DC$ и $AB$: это накрест лежащие углы при секущей $BD$ и прямых $DC$, $AB$.

Однако на видимом рисунке точка $B$ также принадлежит $\alpha$, а условие не утверждает, что $AB$ параллельна плоскости $\alpha$ или не пересекает её. Поэтому заключение $DC\parallel\alpha$ из приведённых данных не следует: если $A,B\in\alpha$, то $AB\subset\alpha$, и параллельная ей прямая $DC$ может лежать в плоскости $\alpha$, а не быть параллельной ей в принятом строгом смысле.

Для доказательства требуются дополнительные данные, например что $AB\subset\alpha$ и $DC\not\subset\alpha$. Тогда из $DC\parallel AB$ и отсутствия общей точки с $\alpha$ следует $DC\parallel\alpha$.

6. Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(\angle BDC=\angle ABD\). Докажите, что \(DC\parallel\alpha\).

Ответ: