6. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами углов при большем основании AD. 1) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная. 2) Докажите, что треугольник AOD — равнобедренный, где O — точка пересечения диагоналей.

Пусть BC ∥ AD. Обозначим углы при основании AD через α = ∠DAB и δ = ∠CDA. Так как AC и BD — биссектрисы этих углов, в треугольнике AOD углы при A и D равны соответственно α/2 и δ/2.

Смежные внутренние углы при боковой стороне AB дают ∠DAB + ∠ABC = 180°. Угол между AB и AC равен α/2, а угол между AC и BC равен ему как накрест лежащий при параллельных основаниях. Поэтому ∠ABC = 180° − α. Аналогично, из того, что BD — биссектриса угла D, получаем ∠BCD = 180° − δ. В треугольнике ABC углы при A и C равны: каждый равен α/2; значит, AB = BC. Аналогично получаем равенство боковых сторон трапеции: AB = CD; трапеция равнобедренная.

У равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD. Их пересечение делит диагонали пропорционально основаниям, поэтому при равных диагоналях AO = DO. Следовательно, ΔAOD равнобедренный.

Ответ: AB = CD; в треугольнике AOD равны стороны AO и DO.