6. Для функции f(x) = 6x^2-2x+5 найдите первообразную F(x), если известно, что F(-2)= -20

Решение:

Найдём общую первообразную для \( f(x) = 6x^2 - 2x + 5 \).

Используем правило нахождения первообразной суммы и степени:

\( F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx \)

\( F(x) = 6 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 5x + C \)

\( F(x) = 6 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 5x + C \)

\( F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + C \)

Теперь используем условие \( F(-2) = -20 \), чтобы найти \( C \):

\( F(-2) = 2(-2)^3 - (-2)^2 + 5(-2) + C = -20 \)

\( 2(-8) - 4 - 10 + C = -20 \)

\( -16 - 4 - 10 + C = -20 \)

\( -30 + C = -20 \)

\( C = -20 + 30 \)

\( C = 10 \)

Таким образом, частная первообразная равна:

\( F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 10 \)

Ответ: F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 10.