7. Решите уравнение tgx - 3 - 4ctgx = 0

Решение:

Перепишем уравнение, используя \( ctgx = \frac{1}{tgx} \):

\( tgx - 3 - \frac{4}{tgx} = 0 \)

ОДЗ: \( tgx \neq 0 \), т.е. \( x \neq \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Умножим всё на \( tgx \):

\( tg^2x - 3tgx - 4 = 0 \)

Пусть \( y = tgx \). Уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y - 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).

Корни:

\( y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} = 4 \)

\( y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к \( tgx \):

1. \( tgx = 4 \) => \( x = arctg(4) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
2. \( tgx = -1 \) => \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)

Ответ: x = arctg(4) + \( \pi k \), x = -\( \frac{\pi}{4} \) + \( \pi m \), где \( k, m \in \mathbb{Z} \).