7. Решите уравнение tgx - 3 - 4ctgx = 0

Решение:

1. Заменим \( ctgx \) через \( \frac{1}{tgx} \), предварительно указав условие \( tgx \neq 0 \) (то есть \( x \neq \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)).
2. Уравнение примет вид: \( tgx - 3 - \frac{4}{tgx} = 0 \)
3. Умножим обе части на \( tgx \) (учитывая \( tgx \neq 0 \)): \( tg^2x - 3tgx - 4 = 0 \)
4. Сделаем замену переменной: пусть \( y = tgx \).
5. Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 3y - 4 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение. Корни: \( y_1 = 4 \) и \( y_2 = -1 \).
7. Сделаем обратную замену:
• \( tgx = 4 \) → \( x = arctg 4 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• \( tgx = -1 \) → \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).
8. Условия \( x \neq \pi k \) выполняются для обоих решений, так как \( tgx \neq 0 \).

Ответ: x = arctg 4 + \(\pi n\), x = -\(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi m\), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).