6. Доказать параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁. Дано: ABCD — пространственный четырёхугольник; DA₁ : A₁A = DB₁ : B₁B = DC₁ : C₁C.

1. В треугольнике DAB точки A₁ и B₁ делят стороны DA и DB пропорционально: DA₁ : A₁A = DB₁ : B₁B. По обратной теореме Фалеса A₁B₁ ∥ AB.
2. В треугольнике DAC из равенства DA₁ : A₁A = DC₁ : C₁C следует, что A₁C₁ ∥ AC.
3. Прямые AB и AC пересекаются в точке A; параллельные им прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекаются в точке A₁. По признаку параллельности плоскостей ABC ∥ A₁B₁C₁.

Ответ: плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны.