6. Докажите иррациональность числа \(\log_5 7\).

Предположим противное: пусть \(\log_5 7\) — рациональное число. Тогда его можно представить в виде \(\frac pq\), где \(p\) и \(q\) — натуральные числа, а дробь несократима.

По определению логарифма из равенства \(\log_5 7=\frac pq\) следует \(5^{p/q}=7\), а значит, после возведения в степень \(q\), получаем \(5^p=7^q\).

Но левая часть имеет только простой множитель 5, а правая — только простой множитель 7. Равенство невозможно по единственности разложения натурального числа на простые множители.

Следовательно, предположение неверно, и \(\log_5 7\) иррационально.