6*. Докажите неравенство: 9x² + y² > 6xy - 3.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить выражение, которое мы будем анализировать.
   9x² + y² - 6xy + 3 > 0.
2. Шаг 2: Перегруппируем члены в левой части, чтобы попытаться выделить формулы сокращенного умножения. Заметим, что 9x² = (3x)², y² = y², а -6xy близко к удвоенному произведению 2 ⋅ (3x) ⋅ y.
   (9x² - 6xy + y²) + 3 > 0.
3. Шаг 3: Выражение в скобках (9x² - 6xy + y²) является квадратом разности по формуле (a - b)² = a² - 2ab + b². Здесь a = 3x и b = y.
   (3x - y)² + 3 > 0.
4. Шаг 4: Теперь проанализируем полученное неравенство.
   Квадрат любого действительного числа (в данном случае (3x - y)²) всегда неотрицателен, то есть (3x - y)² ≥ 0.
   При добавлении к неотрицательному числу положительного числа (3), результат гарантированно будет положительным.
   (3x - y)² ≥ 0 => (3x - y)² + 3 ≥ 0 + 3 => (3x - y)² + 3 ≥ 3.
5. Шаг 5: Поскольку 3 > 0, то неравенство (3x - y)² + 3 > 0 выполняется для любых действительных значений x и y.

Таким образом, исходное неравенство 9x² + y² > 6xy - 3 доказано.