6. Груз массой m = 100 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, закреплён на пружине жёсткостью k = 100 Н/м, прикреплённой к опоре. Его смещают из положения равновесия на расстояние x₁ = 5,0 см и сообщают ему в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой v₁ = 1,0 м/с. Чему равны потенциальная Wп и кинетическая Wк энергия груза в этот момент времени? Запишите кинематический закон его движения.

Дано: \(m=100\text{ г}=0.100\text{ кг}\), \(k=100\text{ Н/м}\), \(x_1=5.0\text{ см}=0.050\text{ м}\), \(v_1=1.0\text{ м/с}\). Направление начального смещения примем за положительное; поскольку груз движется от положения равновесия, \(v_1=+1.0\text{ м/с}\).

1. Потенциальная энергия пружины: \(W_{п}=\frac{kx_1^2}{2}=\frac{100\cdot(0.050)^2}{2}=0.125\text{ Дж}\).

2. Кинетическая энергия груза: \(W_{к}=\frac{mv_1^2}{2}=\frac{0.100\cdot(1.0)^2}{2}=0.050\text{ Дж}\).

3. Для закона движения найдём циклическую частоту: \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{0.100}}=10\sqrt{10}\text{ рад/с}\).

   Общее решение запишем как \(x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\). Из условий \(x(0)=0.050\text{ м}\) следует \(C=0.050\), а из \(v(0)=D\omega=1.0\text{ м/с}\) получаем \(D=\frac{1}{10\sqrt{10}}\text{ м}\).

   Поэтому \(x(t)=0.050\cos(10\sqrt{10}\,t)+\frac{1}{10\sqrt{10}}\sin(10\sqrt{10}\,t)\text{ м}\), где \(t\) выражено в секундах.

Ответ: \(W_{п}=0.125\text{ Дж}\), \(W_{к}=0.050\text{ Дж}\); закон движения приведён выше.