6. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: A — «при первом броске выпадет больше трёх очков» и B — «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Всего равновероятны 36 пар результатов. Для события A первый результат — 4, 5 или 6, поэтому \(P(A)=\frac{18}{36}=\frac12\).

Сумма меньше 9 получается в 26 случаях, значит \(P(B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\).

Для события \(A\cap B\): если первым выпало 4, подходят 4 значения второго броска; если 5 — 3 значения; если 6 — 2 значения. Всего 9 случаев, поэтому \(P(A\cap B)=\frac9{36}=\frac14\).

При независимости было бы \(P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac{13}{18}=\frac{13}{36}\), но \(\frac14=\frac9{36}\ne\frac{13}{36}\).

Ответ: события зависимы.