6. Известно, что cos(π/4 + t) + cos(π/4 − t) = p. Найдите cos(π/4 + t) cos(π/4 − t).

По формуле суммы косинусов \(\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\):

\(2\cos\frac{\pi}{4}\cos t=p\), поэтому \(\sqrt2\cos t=p\) и \(\cos^2t=\frac{p^2}{2}\).

Используем формулу произведения: \(\cos(A+B)\cos(A-B)=\cos^2A-\sin^2B\).

\(\cos(\frac{\pi}{4}+t)\cos(\frac{\pi}{4}-t)=\cos^2\frac{\pi}{4}-\sin^2t=\frac12-(1-\cos^2t)=\frac{p^2-1}{2}.\)

Ответ: \(\frac{p^2-1}{2}\).