6. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 72°.

Найти: ∠ABO.

Решение:

1. Пусть точки пересечения касательных — точка C. Тогда ∠ACB = 72°.
2. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным в точках касания, следовательно, ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
3. Рассмотрим четырёхугольник OACB. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.
4. ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°.
5. ∠AOB + 90° + 72° + 90° = 360°.
6. ∠AOB + 252° = 360°.
7. ∠AOB = 360° - 252° = 108°.
8. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.
9. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OAB = ∠OBA.
10. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике AOB: ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
11. 2 ∠OBA + 108° = 180°.
12. 2 ∠OBA = 180° - 108° = 72°.
13. ∠OBA = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36°