5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

• В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
• ∠ABC + ∠ADC = 180°.
• 134° + ∠ADC = 180°.
• ∠ADC = 180° - 134° = 46°.
• Угол ∠ADC состоит из углов ∠ADB и ∠BDC.
• Угол ∠CAD = 81°. Угол ∠CBD опирается на ту же дугу CD, что и ∠CAD, следовательно, ∠CBD = 81°.
• Угол ∠ADB опирается на дугу AB. Угол ∠ACB опирается на дугу AB.
• Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠BDC опирается на дугу BC.
• Рассмотрим угол ∠ADC = 46°. Мы знаем ∠CAD = 81°. Это противоречит условию, что ABCD — вписанный четырехугольник, так как ∠ADC = 46° и ∠CAD = 81°. Исходя из рисунка, угол CAD является частью угла BAD.
• Переформулируем: Угол ABC = 134°. Тогда противоположный угол ADC = 180° - 134° = 46°.
• Угол CAD = 81°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу CD.
• Угол CBD также опирается на дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 81°.
• Угол ABD является частью угла ABC.
• Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD также опирается на дугу AD, поэтому ∠ABD = ∠ACD.
• Нам нужно найти ∠ABD.
• Рассмотрим угол ∠ADC = 46°. Угол ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.
• Угол ∠BDC опирается на дугу BC. Угол ∠BAC также опирается на дугу BC.
• Рассмотрим ∠ABC = 134°.
• Угол ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD.
• Угол ∠BDC + ∠ADB = ∠ADC = 46°.
• Вписанный угол ∠ABC = 134°. Дуга ADC = 2 * (180 - 134) = 2 * 46 = 92. (Это неверно, дуга ABC = 2 * (180 - 134) = 92)
• Дуга ADC = 360° - дуга ABC. Центральный угол, соответствующий ∠ABC = 134°, равен 2 * 134 = 268°. Дуга ADC = 360 - 268 = 92°.
• Угол ∠ADC = 92° / 2 = 46°.
• Угол ∠CAD = 81°.
• Угол ∠ADB опирается на дугу AB. Угол ∠ACB тоже опирается на дугу AB.
• Угол ∠ABD опирается на дугу AD. Угол ∠ACD тоже опирается на дугу AD.
• Угол ∠CAD = 81° (опирается на дугу CD).
• Угол ∠CBD = 81° (опирается на дугу CD).
• Угол ∠ABC = 134°. ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.
• 134° = ∠ABD + 81°.
• ∠ABD = 134° - 81° = 53°.

Ответ: 53°