6. Катер прошел по течению 40 км и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

Решение:

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера.

Скорость катера по течению: \(x + 2\) км/ч.

Скорость катера против течения: \(x - 2\) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \(t_1 = \frac{40}{x+2}\) часа.

Время, затраченное на путь против течения: \(t_2 = \frac{6}{x-2}\) часа.

Общее время в пути: \(t_1 + t_2 = 3\) часа.

Составим и решим уравнение:

\( \frac{40}{x+2} + \frac{6}{x-2} = 3 \)

Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\), чтобы избавиться от знаменателей (при условии \(x
e 2\) и \(x
e -2\)):

\( 40(x-2) + 6(x+2) = 3(x+2)(x-2) \)
\( 40x - 80 + 6x + 12 = 3(x^2 - 4) \)
\( 46x - 68 = 3x^2 - 12 \)
\( 3x^2 - 46x - 12 + 68 = 0 \)
\( 3x^2 - 46x + 56 = 0 \)

Решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 46x + 56 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444 \)
\( \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 38}{2 \cdot 3} = \frac{84}{6} = 14 \)
\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 38}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)

Поскольку собственная скорость катера должна быть больше скорости течения (чтобы он мог двигаться против течения), \(x > 2\). Следовательно, \(x = 14\) км/ч является решением.

Проверим \(x = 4/3\): \(4/3 \approx 1.33\). Это меньше 2, поэтому катер не смог бы двигаться против течения. Значит, этот корень не подходит.

Ответ: Собственная скорость катера составляет 14 км/ч.