6. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \), катеты \( AC = 15 \) и \( BC = 20 \). Пусть CH — высота, проведённая к гипотенузе AB.

Сначала найдём длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 15^2 + 20^2 \)

\( AB^2 = 225 + 400 \)

\( AB^2 = 625 \)

\( AB = \sqrt{625} = 25 \)

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · 15 · 20 = 150 \)
2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2} · AB · CH \)

Приравниваем оба выражения для площади:

\( \frac{1}{2} · AB · CH = 150 \)

\( \frac{1}{2} · 25 · CH = 150 \)

\( 12.5 · CH = 150 \)

\( CH = \frac{150}{12.5} = \frac{1500}{125} \)

\( CH = 12 \)

Ответ: 12.