6. Координатная плоскость: Постройте треугольник MNK с вершинами M(-4;-3), N(4;-3), K(0; 4). a) Определите вид треугольника (по сторонам). б) Найдите его площадь.

Задание 6. Координатная плоскость

Дано: вершины треугольника M(-4;-3), N(4;-3), K(0; 4).

Найти:

• а) Вид треугольника по сторонам.
• б) Площадь треугольника.

Решение:

а) Определение вида треугольника:

1. Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \):
• Длина стороны MN: \( MN = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(4+4)^2 + (-3+3)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8 \).
• Длина стороны NK: \( NK = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (4+3)^2} = \sqrt{16 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \).
• Длина стороны MK: \( MK = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(0+4)^2 + (4+3)^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \).
2. Анализ длин сторон:
• Так как \( NK = MK = \sqrt{65} \), треугольник MNK является равнобедренным.

б) Нахождение площади треугольника:

1. Определим основание и высоту треугольника:
• Основание MN параллельно оси X, его длина равна 8.
• Высота, проведенная из вершины K к основанию MN, будет иметь длину, равную разности y-координат точки K и точек M и N.
• Высота \( h = y_K - y_M = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \).
2. Используем формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \)
• \( S = \frac{1}{2} \times MN \times h \)
• \( S = \frac{1}{2} \times 8 \times 7 \)
• \( S = 4 \times 7 = 28 \).

Ответ:

• а) Треугольник MNK — равнобедренный.
• б) Площадь треугольника MNK равна 28.