6. Метод Гаусса. 6.1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса: {x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; 3x + 2y − z = 4}.

Запишем расширенную матрицу системы и вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей — утроенную первую:

\[\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\2&-1&1&|&3\\3&2&-1&|&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\0&-3&-1&|&-9\\0&-1&-4&|&-14\end{pmatrix}.\]

Умножаем вторую строку на −1/3 и третью на −1: получаем уравнения 3y + z = 9 и y + 4z = 14. Из первого z = 9 − 3y. Подстановка во второе даёт y + 4(9 − 3y) = 14, откуда y = 2 и z = 3. Из первого уравнения системы x = 6 − y − z = 1.

Проверка: 1 + 2 + 3 = 6; 2 − 2 + 3 = 3; 3 + 4 − 3 = 4.

Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.