Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: *6. Метод замены переменной: 1) 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0; 2) 2(x² + 1/x²) − 7(x + 1/x) + 9 = 0; 3) (x² + x − 5)/x +…Фото задания

Ответ:

Решаем в действительных числах и учитываем, что знаменатели исходных уравнений не равны нулю.

  1. ОДЗ: \(x\ne0\). Положим \(t=x-\frac1x\); тогда \(x^2+\frac1{x^2}=t^2+2\). Получаем \(2t^2-11t+12=0\), поэтому \(t=4\) или \(t=\frac32\). Из \(x-\frac1x=4\) получаем \(x=2\pm\sqrt5\); из \(x-\frac1x=\frac32\) — \(x=2,-\frac12\). Ответ: \(x=2\pm\sqrt5,\ 2,\ -\frac12\).
  2. ОДЗ: \(x\ne0\). Положим \(t=x+\frac1x\); тогда \(x^2+\frac1{x^2}=t^2-2\). Получаем \(2t^2-7t+5=0\), то есть \(t=1\) или \(t=\frac52\). При \(t=1\) уравнение \(x^2-x+1=0\) не имеет действительных корней. При \(t=\frac52\): \(2x^2-5x+2=0\), откуда \(x=2,\frac12\). Ответ: \(x=2,\frac12\).
  3. ОДЗ: \(x\ne0\) и \(x^2+x-5\ne0\). Положим \(u=\frac{x^2+x-5}{x}\); тогда \(\frac{3x}{x^2+x-5}=\frac3u\). Получаем \(u+\frac3u+4=0\), поэтому \((u+1)(u+3)=0\). При \(u=-1\): \(x^2+2x-5=0\), откуда \(x=-1\pm\sqrt6\). При \(u=-3\): \(x^2+4x-5=0\), откуда \(x=1,-5\). Все найденные значения допустимы. Ответ: \(x=-1\pm\sqrt6,\ 1,-5\).
  4. ОДЗ: \(x\ne0\) и \(x^2-14\ne0\). Положим \(u=\frac{x^2-14}{x}\); тогда \(\frac{10x}{x^2-14}=\frac{10}{u}\). Получаем \(u+\frac{10}{u}=3\), то есть \(u^2-3u+10=0\). Дискриминант равен \(9-40=-31<0\), поэтому действительных значений \(u\), а значит и действительных корней исходного уравнения нет. Ответ: корней нет.